Série harmonique : somme des inverses des entiers naturels non nuls $$\sum^\infty_{n=1}\frac1n$$
(Inverse multiplicatif, Ensemble des entiers naturels)
Proposition :
Pour la série harmonique \(\sum_{k\geqslant1}\frac1k\) et sa somme partielle \(S_n=\sum^n_{k=1}\frac1k\), on a : $$\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} } S_n={{+\infty}}$$
Pour montrer que \(\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} }\sum^n_{k=1}\frac1k=+\infty\), on peut se rappeler qu'il est toujours possible de former un groupe de termes successivement plus petits dont la somme est supérieure à \(\frac12\)
(Suite divergente)
$${{\ln(n+1)}}{{\leqslant}}{{\sum_{k=1}^n\frac1n}}{{\leqslant}}{{\ln(n)+1}}$$
(Logarithme népérien - Logarithme naturel
)